Unterschied zwischen Lorentztransformation und Galileitransformation
Kurz gesagt
Beide Transformationen beschreiben, wie Raum- und Zeitkoordinaten zwischen gleichförmig bewegten Bezugssystemen umgerechnet werden. Die Lorentztransformation gehört zur Relativitätstheorie; die Galileitransformation ist das passende Modell der klassischen Mechanik bei niedrigen Geschwindigkeiten.
Der HauptunterschiedDie Lorentztransformation verknüpft Raum und Zeit relativistisch; die Galileitransformation setzt eine für alle Beobachter gleiche Zeit voraus.
Beide rechnen Koordinaten zwischen gleichförmig bewegten Bezugssystemen um, unterscheiden sich aber darin, ob die Zeit für alle Beobachter gleich bleibt.
Steckbriefe
Steckbrief: Lorentztransformation
Die Lorentztransformation rechnet Raum- und Zeitkoordinaten zwischen gleichförmig bewegten Bezugssystemen um. Sie ist die kinematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie.
- Lichtgeschwindigkeit bleibt konstant
- Zeit hängt vom Bezugssystem ab
- Relativistische Korrekturen
Beispiel Bei einem Teilchenbeschleuniger nutzen Physiker die Lorentztransformation, um Messwerte bewegter Teilchen umzurechnen.
Steckbrief: Galileitransformation
Die Galileitransformation verknüpft die Koordinaten zweier gleichförmig bewegter Bezugssysteme in der klassischen Mechanik. Sie setzt eine für alle Beobachter gleiche Zeit voraus.
- Absolute Zeit
- Lineare Geschwindigkeitsaddition
- Klassische Näherung
Beispiel Bei einer langsam fahrenden Fähre addiert man näherungsweise die Gehgeschwindigkeit an Bord zur Fährgeschwindigkeit.
Auf einen Blick
| Merkmal | Lorentztransformation | Galileitransformation |
|---|---|---|
| Was ist es? | Relativistische Umrechnung von Raum- und Zeitkoordinaten | Klassische Umrechnung von Raum- und Zeitkoordinaten |
| Typisch | Zeit und Raum hängen von der Relativbewegung ab | Zeit vergeht in allen Bezugssystemen gleich |
| Wofür / wann? | Für Geschwindigkeiten, bei denen relativistische Effekte wichtig sind | Für die klassische Mechanik bei niedrigen Geschwindigkeiten |
| Beispiel | Bewegte Teilchen in einem Beschleuniger | Ein Ball, der auf einem fahrenden Wagen rollt |
| Zeitkoordinate | Sie hängt auch von der Ortskoordinate ab. | Sie bleibt für beide Systeme gleich. |
| Geschwindigkeiten | Addition folgt einer relativistischen Regel. | Geschwindigkeiten werden einfach addiert. |
| Gültigkeitsbereich | Auch bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit | Bei Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit |
Im Detail
Was wird umgerechnet?
Stellen Sie sich zwei Beobachter vor: Einer steht am Bahnsteig, der andere sitzt in einem gleichförmig fahrenden Zug. Ein Ereignis, etwa ein Lichtblitz, hat für jeden Beobachter Orts- und Zeitkoordinaten. Eine Transformation gibt an, wie diese Koordinaten ineinander übergehen.
Für die folgenden Formeln bewegt sich das System S′ mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung gegenüber S. Wir wählen parallel ausgerichtete Achsen und setzen voraus, dass die Ursprünge bei t = t′ = 0 zusammenfallen. Die Lorentztransformation lautet: x′ = γ(x − vt), t′ = γ(t − vx/c²), wobei γ = 1/√(1 − v²/c²) ist. Dabei bezeichnet c die Lichtgeschwindigkeit; die übrigen Raumkoordinaten bleiben bei diesem einfachen Bewegungsfall unverändert.
Die klassische Sicht: Galilei
In der klassischen Mechanik ist Zeit unabhängig von der Bewegung des Beobachters: Beide Bezugssysteme messen dieselbe Zeit, also t′ = t. Für die Ortskoordinate gilt bei der genannten Bewegungsrichtung x′ = x − vt. Die Umrechnung verändert damit die Position, nicht aber den Zeitabstand zwischen Ereignissen.
Aus dieser Annahme folgt die einfache Geschwindigkeitsaddition. Läuft eine Person im Zug nach vorn, ist ihre Geschwindigkeit gegenüber dem Boden die Zuggeschwindigkeit plus ihre Geschwindigkeit im Zug. Für alltägliche Bewegungen ist diese Beschreibung äußerst genau und meist deutlich einfacher zu verwenden.
Die relativistische Sicht: Lorentz
Die spezielle Relativitätstheorie verlangt, dass alle gleichförmig bewegten Inertialbeobachter dieselbe Lichtgeschwindigkeit im Vakuum messen. Damit das möglich ist, können sie nicht zugleich eine universelle Zeit und dieselbe Gleichzeitigkeit aller räumlich getrennten Ereignisse annehmen. In der Lorentztransformation hängt deshalb die neue Zeitkoordinate auch von der ursprünglichen Ortskoordinate ab.
Das hat messbare Folgen: Bewegte Uhren gehen aus Sicht eines anderen Bezugssystems langsamer. Ein bewegter Gegenstand wird in Bewegungsrichtung kürzer gemessen, wenn seine Endpunkte im jeweiligen Bezugssystem gleichzeitig bestimmt werden. Solche Aussagen beziehen sich auf Vergleiche zwischen Bezugssystemen; sie bedeuten nicht, dass eine Uhr oder ein Gegenstand im eigenen Ruhesystem plötzlich anders funktioniert oder aussieht.
Wann geht die eine in die andere über?
Wenn die Relativgeschwindigkeit v viel kleiner als c ist, ist γ nahezu 1. Auch der Zusatzterm vx/c² in der Zeitumrechnung ist dann für gewöhnliche Entfernungen vernachlässigbar. Die Lorentztransformation nähert sich damit der Galileitransformation an.
Deshalb ist die Galileitransformation nicht einfach falsch: Sie ist eine sehr gute Näherung für viele Vorgänge im Alltag und in der klassischen Technik. Bei sehr schnellen Teilchen, hochpräzisen Zeitmessungen oder großen Entfernungen können die ausgelassenen relativistischen Effekte dagegen entscheidend sein.
Woran erkennt man den Unterschied?
- Prüfen Sie, ob die beteiligten Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sehr klein sind.
- Fragen Sie, ob eine gemeinsame, für alle Beobachter gleiche Zeit vorausgesetzt werden darf.
- Bei alltäglichen Bewegungen genügt meist die Galileitransformation.
- Bei Licht, sehr schnellen Teilchen oder präzisen Zeitvergleichen ist die Lorentztransformation nötig.
Gemeinsamkeiten
- Beide beziehen Koordinaten auf gleichförmig bewegte Bezugssysteme.
- Beide beschreiben denselben beobachteten Vorgang aus unterschiedlichen Perspektiven.
- Bei niedrigen Geschwindigkeiten liefern sie praktisch dieselben Ergebnisse.
Häufige Fragen
Wann darf man die Galileitransformation verwenden?
Wenn die Relativgeschwindigkeiten klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind und keine extrem präzisen Zeitmessungen nötig sind. Das trifft auf die meisten Bewegungen im Alltag und in der klassischen Mechanik zu.
Warum hängt die Zeit in der Lorentztransformation vom Ort ab?
Damit Beobachter in gleichförmiger Bewegung dieselbe Lichtgeschwindigkeit messen können. Dadurch können sie sich darin unterscheiden, welche räumlich getrennten Ereignisse gleichzeitig stattfinden.
Wie berechnet man die Lorentztransformation?
Für eine Bewegung in x-Richtung setzt man x′ = γ(x − vt) und t′ = γ(t − vx/c²) ein. Der Faktor γ ist 1/√(1 − v²/c²); die Bewegungsrichtung und die Wahl des Bezugssystems bestimmen die Vorzeichen.
