Die Mathematik ist ein kompliziertes Feld, das auf vielfältige Konzepte angewandenes, darunter auch die beiden Begriffe „Reihe“ und „Potenzreihe“. Diese beiden Begriffe wirken auf den ersten Blick möglicherweise austauschbar, aber sie beschreiben tatsächlich unterschiedliche mathematische Konzepte.
Reihe
In der Mathematik ist eine Reihe im Allgemeinen eine Summe von Elementen, die in einer bestimmten Reihenfolge stehen. Diese Elemente können in Form von Zahlen, Variablen oder sogar Funktionen sein. Eine Reihe ist also eine Anzahl von Termen, die durch das Additionszeichen verbunden sind, z.B. 2 + 4 + 6 + 8 + … . Eine Reihe kann endlich oder unendlich sein.
Potenzreihe
Auf der anderen Seite ist eine Potenzreihe eine spezielle Form einer Reihe. In einer Potenzreihe wird eine unendliche Summe von Termen präsentiert, bei denen jeder Term ein Produkt einer Zahl und der Variable zu einer bestimmten Potenz ist. Ein Beispiel für eine Potenzreihe ist 1 + x + x2 + x3 + x4 + … . Hier ist x die Variable, und jede aufeinanderfolgende Potenz von x wird mit 1 multipliziert und dann zur Summe hinzugefügt.
Eine Potenzreihe ist ein spezieller Typ einer Reihe und hat eine Konvergenzregion, die in der Theorie der Potenzreihen von großer Bedeutung ist. Die Konvergenzregion ist der Bereich der Werte von x, für die die Potenzreihe konvergiert, also zu einem bestimmten Zahlenwert wird.
Unterschied zwischen Reihe und Potenzreihe
Der offensichtliche Unterschied besteht darin, dass alle Potenzreihen Reihen sind, aber nicht alle Reihen Potenzreihen sind. Eine Potenzreihe ist eine spezielle Art von Reihe, die durch eine spezifische Formel definiert ist.
Die Tabelle unten zeigt einige der Hauptunterschiede zwischen Reihe und Potenzreihe:
| Reihe | Potenzreihe |
|---|---|
| Summe von Elementen in einer bestimmten Reihenfolge | Unendliche Summe von Termen, bei denen jeder Term ein Produkt einer Zahl und der Variable zu einer bestimmten Potenz ist |
| Kann endlich oder unendlich sein | Immer unendlich |
| Enthält keine Potenzen einer Variablen | Enthält Potenzen einer Variablen |
| Konvergiert nicht immer zu einem bestimmten Zahlenwert | Hat eine definierte Konvergenzregion |